极限的基本概念
极限是微积分的灵魂，描述了函数值在一个点附近的变化趋势。理解极限概念是学习微积分的基础。
极限的定义
函数极限
定义：当 xxx 趋向于 x0x_0x0 时，f(x)f(x)f(x) 趋向于 AAA，记作 limx→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0f(x)=A。
数学语言：对于任意给定的正数 ε\varepsilonε，总存在正数 δ\deltaδ，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0∣<δ 时，恒有 ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon∣f(x)−A∣<ε。
几何意义：函数图像在 x0x_0x0 附近无限接近 y=Ay = Ay=A 这条水平线。
数列极限
定义：当 nnn 趋向于无穷大时，xnx_nxn 趋向于 AAA，记作 limn→∞xn=A\lim_{n \to \infty} x_n = Alimn→∞xn=A。
数学语言：对于任意给定的正数 ε\varepsilonε，总存在正整数 NNN，使得当 n>Nn > Nn>N 时，恒有 ∣xn−A∣<ε|x_n - A| < \varepsilon∣xn−A∣<ε。
例子：
limn→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0limn→∞n1=0
limn→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = elimn→∞(1+n1)n=e
左极限与右极限
左极限
定义：当 xxx 从左侧趋向于 x0x_0x0 时，f(x)f(x)f(x) 的极限，记作 limx→x0−f(x)\lim_{x \to x_0^-} f(x)limx→x0−f(x)。
数学语言：对于任意给定的正数 ε\varepsilonε，总存在正数 δ\deltaδ，使得当 x0−δ 右极限 定义：当 xxx 从右侧趋向于 x0x_0x0 时，f(x)f(x)f(x) 的极限，记作 limx→x0+f(x)\lim_{x \to x_0^+} f(x)limx→x0+f(x)。 数学语言：对于任意给定的正数 ε\varepsilonε，总存在正数 δ\deltaδ，使得当 x0 极限存在的充要条件 定理：函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处极限存在的充要条件是其左、右极限都存在且相等。 即：limx→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0f(x)=A 当且仅当 limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=A\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = Alimx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=A 例子： 函数 f(x)=∣x∣xf(x) = \frac{|x|}{x}f(x)=x∣x∣ 在 x=0x = 0x=0 处的左极限为 −1-1−1，右极限为 111，因此在该点极限不存在。 极限的性质 唯一性 性质：如果极限存在，则极限值是唯一的。 证明：假设 limx→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0f(x)=A 且 limx→x0f(x)=B\lim_{x \to x_0} f(x) = Blimx→x0f(x)=B，则 A=BA = BA=B。 有界性 性质：如果 limx→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0f(x)=A，则存在 x0x_0x0 的某个邻域，使得 f(x)f(x)f(x) 在该邻域内有界。 推论：如果函数在某点有极限，则在该点的某个邻域内函数有界。 保号性 性质：如果 limx→x0f(x)=A>0\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0limx→x0f(x)=A>0，则存在 x0x_0x0 的某个邻域，使得在该邻域内 f(x)>0f(x) > 0f(x)>0。 推论：如果 limx→x0f(x)=A<0\lim_{x \to x_0} f(x) = A < 0limx→x0f(x)=A<0，则存在 x0x_0x0 的某个邻域，使得在该邻域内 f(x)<0f(x) < 0f(x)<0。 极限的几何解释 函数极限的几何意义 当 xxx 无限接近 x0x_0x0 时，函数值 f(x)f(x)f(x) 无限接近常数 AAA 函数图像在 x0x_0x0 附近”聚集”在 y=Ay = Ay=A 这条水平线附近 无论从哪个方向接近 x0x_0x0，函数值都趋向于同一个值 数列极限的几何意义 数列的点在数轴上无限接近某个点 AAA 从某个项开始，所有项都落在 AAA 的任意小邻域内 数列的”尾巴”越来越接近极限值 练习题 练习 1 判断函数 f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}f(x)=x−1x2−1 在 x=1x = 1x=1 处的极限是否存在。 参考答案解题思路： 需要分别计算左极限和右极限，看它们是否相等。 详细步骤： 计算右极限：limx→1+x2−1x−1=limx→1+(x−1)(x+1)x−1=limx→1+(x+1)=2\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2limx→1+x−1x2−1=limx→1+x−1(x−1)(x+1)=limx→1+(x+1)=2 计算左极限：limx→1−x2−1x−1=limx→1−(x−1)(x+1)x−1=limx→1−(x+1)=2\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2limx→1−x−1x2−1=limx→1−x−1(x−1)(x+1)=limx→1−(x+1)=2 由于左极限等于右极限，所以极限存在。 答案：极限存在，值为 2。 练习 2 证明数列 xn=nn+1x_n = \frac{n}{n+1}xn=n+1n 的极限为 1。 参考答案解题思路： 使用极限的定义，证明对于任意 ε>0\varepsilon > 0ε>0，存在 NNN 使得当 n>Nn > Nn>N 时，∣xn−1∣<ε|x_n - 1| < \varepsilon∣xn−1∣<ε。 详细步骤： ∣xn−1∣=∣nn+1−1∣=∣n−(n+1)n+1∣=1n+1|x_n - 1| = \left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{n-(n+1)}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}∣xn−1∣=n+1n−1=n+1n−(n+1)=n+11 要使 1n+1<ε\frac{1}{n+1} < \varepsilonn+11<ε，需要 n+1>1εn+1 > \frac{1}{\varepsilon}n+1>ε1，即 n>1ε−1n > \frac{1}{\varepsilon} - 1n>ε1−1 取 N=⌊1ε−1⌋+1N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rfloor + 1N=⌊ε1−1⌋+1，则当 n>Nn > Nn>N 时，∣xn−1∣<ε|x_n - 1| < \varepsilon∣xn−1∣<ε 答案：数列极限为 1。 练习 3 判断函数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1 在 x=0x = 0x=0 处的极限是否存在。 参考答案解题思路： 分别计算左极限和右极限，看它们是否相等。 详细步骤： 右极限：limx→0+1x=+∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\inftylimx→0+x1=+∞ 左极限：limx→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\inftylimx→0−x1=−∞ 由于左极限不等于右极限，所以极限不存在。 答案：极限不存在。