研究背景
当雨过天晴后，天空中偶尔会出现一种视觉奇观，彩虹。它呈现出弯曲拱桥的形态，由外到内分布着红、黄、绿、蓝、紫等颜色。
当阳光射入云层中的悬浮水滴时，经过折射和反射，会发生色散现象，这是彩虹形成的基本原理。当彩虹出现时，往往天空中不止能看到一道彩虹，这是因为阳光在水滴中每多一次反射，就多一道彩虹，但是经过多次反射形成的彩虹亮度非常不明显，难以被观测到。最容易被肉眼观察到的那道彩虹，是经过一次反射形成的彩虹，本文以经过一次反射形成的彩虹为研究对象。图1展示了一道彩虹，注意到彩虹外面还有一道色彩暗弱的“彩虹”，那是经过多次反射形成的彩虹，又叫做副虹，不在本文研究的范围内。
下面将从物理角度探究经过一次反射形成的彩虹如何呈现出其独特的外观特征。
具体分析
建立阳光射入水滴的物理模型：
假设有任意一束阳光从某角度射入球形水滴，如图2所示，蓝色虚线圆形代表水滴与空气的接触界面，黄色实箭头代表光线，黄色虚线代表光线的延长线，球形水滴的圆心为O，黑色虚线为发生折射或者反射位置的法线。
在A点处光线射入水滴，发生第一次折射，入射角为∠1，折射角为∠2；在B点出光线在水滴中发生反射，反射的入射角为∠3，反射角为∠4；在C点处光线射出水滴，发生第二次折射，这次折射的入射角为∠5，出射角为∠6
D点是光线离开水滴后所在直线和光线进入水滴前所在直线的相交点，∠7是光线在进入水滴前和离开水滴后方向发生的偏转角度，称为偏转角。
E点是光线进入水滴前所在直线和光线在水滴内经过一次反射后所在直线的相交点。
根据折射理论
n1⋅sinα=n2⋅sinβ
n_1 \cdot \sin \alpha = n_2 \cdot \sin \beta
n1⋅sinα=n2⋅sinβ
其中n1是折射前光线所在介质的绝对折射率，n2是折射后光线所在介质的绝对折射率，α和β分别是入射角和折射角。
所以对于第一次折射，光线进入水滴，有
n空⋅sin∠1=n水⋅sin∠2
n_{\text{空}} \cdot \sin \angle 1 = n_{\text{水}} \cdot \sin \angle 2
n空⋅sin∠1=n水⋅sin∠2
其中 n空 是折射前光线在空气中的绝对折射率，n水 是折射后光线在水中的绝对折射率。
同理对于第二次折射，光线离开水滴，有
n水⋅sin∠5=n空⋅sin∠6
n_{\text{水}} \cdot \sin \angle 5 = n_{\text{空}} \cdot \sin \angle 6
n水⋅sin∠5=n空⋅sin∠6
根据反射理论
入射角=反射角
所以对于光线在水滴中的反射，有
∠3=∠4
\angle 3 = \angle 4
∠3=∠4
对于球形水滴，OA，OB，OC都是它的半径，长度相等，根据等腰三角形两底角相等的数学定理，可得
∠2=∠3
\angle 2 = \angle 3
∠2=∠3
∠4=∠5
\angle 4 = \angle 5
∠4=∠5
∠7是三角形CDE的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以
∠7=∠DCE+∠DEC
\angle 7 = \angle DCE + \angle DEC
∠7=∠DCE+∠DEC
∠DEC是三角形ABE的外角，同上理得
∠DEC=∠EAB+∠EBA
\angle DEC = \angle EAB + \angle EBA
∠DEC=∠EAB+∠EBA
∠5和∠DCE共同组成了∠DCO，即
∠5+∠DCE=∠DCO
\angle 5 + \angle DCE = \angle DCO
∠5+∠DCE=∠DCO
而∠DCO和∠6是对顶角，根据对顶角相等，有
∠DCO=∠6
\angle DCO = \angle 6
∠DCO=∠6
E、B、C共线，而∠3是BO和BA所成角，∠4是BO和BC所成角，所以∠3、∠4、∠EBA共同组成了一个平角，即
∠3+∠4+∠EBA=180∘
\angle 3 + \angle 4 + \angle EBA = 180^\circ
∠3+∠4+∠EBA=180∘
∠2和∠EAB共同组成了∠DAO，即
∠2+∠EAB=∠EAO
\angle 2 + \angle EAB = \angle EAO
∠2+∠EAB=∠EAO
而∠EAO和∠1是对顶角，根据对顶角相等，有
∠EAO=∠1
\angle EAO = \angle 1
∠EAO=∠1
因此可以推得
∠7=∠DCE+∠DEC=(∠DCO−∠5)+(∠EAB+∠EBA)=(∠6−∠5)+((∠1−∠2)+(180∘−∠3−∠4))
\angle 7 = \angle DCE + \angle DEC = (\angle DCO - \angle 5) + (\angle EAB + \angle EBA) = (\angle 6 - \angle 5) + ((\angle 1 - \angle 2) + (180^\circ - \angle 3 - \angle 4))
∠7=∠DCE+∠DEC=(∠DCO−∠5)+(∠EAB+∠EBA)=(∠6−∠5)+((∠1−∠2)+(180∘−∠3−∠4))
不妨设
∠1=α
\angle 1 = \alpha
∠1=α
∠2=β
\angle 2 = \beta
∠2=β
则有
∠1=∠6=α\angle 1 = \angle 6 = \alpha∠1=∠6=α
∠2=∠3=∠4=∠5=β\angle 2 = \angle 3 = \angle 4 = \angle 5 = \beta∠2=∠3=∠4=∠5=β
∠7=(α−β)+((α−β)+(180∘−β−β))=2α−4β+180∘\angle 7 = (\alpha - \beta) + ((\alpha - \beta) + (180^\circ - \beta - \beta)) = 2\alpha - 4\beta + 180^\circ∠7=(α−β)+((α−β)+(180∘−β−β))=2α−4β+180∘
前面已经推出
n水⋅sin∠5=n空⋅sin∠6n_{\text{水}} \cdot \sin \angle 5 = n_{\text{空}} \cdot \sin \angle 6n水⋅sin∠5=n空⋅sin∠6
即
n水⋅sinβ=n空⋅sinαn_{\text{水}} \cdot \sin \beta = n_{\text{空}} \cdot \sin \alphan水⋅sinβ=n空⋅sinα
设
n=n水n空n = \frac{n_{\text{水}}}{n_{\text{空}}}n=n空n水
则
β=arcsin(sinαn)\beta = \arcsin\left(\frac{\sin \alpha}{n}\right)β=arcsin(nsinα)
代入∠7=2α−4β+180∘\angle7 = 2\alpha - 4\beta + 180^\circ∠7=2α−4β+180∘可得
∠7=2α−4arcsin(sinαn)+180∘
\angle 7 = 2\alpha - 4 \arcsin{\left(\frac{\sin \alpha}{n}\right)} + 180^\circ
∠7=2α−4arcsin(nsinα)+180∘
此函数的定义域在 [0,90° )
空气的绝对折射率为n空≈1n_{\text{空}} \approx 1n空≈1，虽然介质对不同频率的光有不同的折射率，但是此处暂且假设介质对不同频率的光有相同的绝对折射率折射率，便于研究函数性质。假设光在水中的绝对折射率为n水≈1.33n_{\text{水}} \approx 1.33n水≈1.33，那么光从空气射入水中的相对折射率为n≈1.33n_{\text{}} \approx 1.33n≈1.33
函数图像如下
可以观察到函数在定义域 [0,90° )，也就是 [0, PI/4 )上先下降后上升，存在极小值。
这个极小值的意义在于，当α≈1.03995π×180∘≈59.6∘\alpha \approx \frac{1.03995}{\pi} \times 180^\circ \approx 59.6^\circα≈π1.03995×180∘≈59.6∘时，函数导数为0，说明在59.6°附近射入的光线都会经由相同的方向射出，在以所有角度射入的光线中，以这个角度射入的光线最为集中，肉眼观测到的颜色，取决于此极小值位置射入的光线。
现在考虑不同频率的光在水中的折射率不同
对于红光，其在水中的绝对折射率为
n水(红光)≈1.331n_{\text{水(红光)}} \approx 1.331n水(红光)≈1.331，
因此红光从空气射入水中的绝对折射率
n红光=n水(红光)n空=1.331n_{红光}=\frac{n_{水}(红光)}{n_{空}}=1.331n红光=n空n水(红光)=1.331
借助计算机工具，得出对于红光来说，当α=1.03894π×180∘≈59.5∘\alpha = \frac{1.03894}{\pi} \times 180^\circ \approx 59.5^\circα=π1.03894×180∘≈59.5∘
时，偏转角有极值∠7红=2.4021π×180∘≈137.6∘\angle 7_{\text{红}}=\frac{2.4021}{\pi}\times180^{\circ}\approx137.6^{\circ}∠7红=π2.4021×180∘≈137.6∘
对于紫光，其在水中的绝对折射率为
n水（紫光）=1.343n_{\text{水（紫光）}} = 1.343n水（紫光）=1.343
因此红光从空气射入水中的绝对折射率
n紫光=n水(紫光)n空=1.343n_{\text{紫光}} = \frac{n_{\text{水} (\text{紫光})}}{n_{\text{空}}} = 1.343n紫光=n空n水(紫光)=1.343
借助计算机工具，得出对于红光来说，当α=1.02678π×180∘≈58.8∘\alpha = \frac{1.02678}{\pi} \times 180^\circ \approx 58.8^\circα=π1.02678×180∘≈58.8∘时，偏转角有极值
∠7紫=2.43219π×180∘≈139.4∘\angle7_{紫}=\frac{2.43219}{\pi}\times180^{\circ}\approx139.4^{\circ}∠7紫=π2.43219×180∘≈139.4∘
由此式∠7=2α−4arcsin(sinαn)+180∘\angle 7 = 2\alpha - 4 \arcsin\left(\frac{\sin \alpha}{n}\right) + 180^\circ∠7=2α−4arcsin(nsinα)+180∘的函数性质知，相对折射率在1.331到1.343之间变化时，偏转角∠7是单调的，因此对于赤橙黄绿青蓝紫光来说，偏转角在137.6°到139.4°之间单调变化
设外界太阳光线与水滴射出光线所成锐角为观察角，如下图图6所示∠8
则对于红光
∠8红=180∘−137.6∘=42.4∘\angle8_{红}=180^{\circ}-137.6^{\circ}=42.4^{\circ}∠8红=180∘−137.6∘=42.4∘
对于紫光
∠8紫=180°−139.4°=40.6°\angle 8_{紫} = 180° - 139.4° = 40.6°∠8紫=180°−139.4°=40.6°
对于赤橙黄绿青蓝紫光来说，观察角在42.4°到40.6°之间单调变化
总结
通过我们的研究，我们可以得出如下结论
1、彩虹几乎总是出现在太阳的另一侧，这是因为我们观测到的彩虹，实际上是太阳光偏转了钝角角度形成的，因此在湿润的清晨和傍晚，更容易观察到彩虹出现在天空中与太阳位置相对的另一侧，在中午时则很难观察到彩虹（因为彩虹很可能在地平线下面，看不到，不过如果在纬度很高的位置，由于太阳极为靠近北方或者南方的天空，可能在南方或者北方能看见彩虹）。
2、彩虹由外到内依次为赤橙黄绿青蓝紫并不是一种偶然，红色区域的观察角为42.4°，紫色区域的观察角为40.6°。
3、对于每个频率的光其观察角是固定的，因此彩虹如果没有地平线的遮挡，将会是环形的，不过由于地平线的遮挡，我们看到的彩虹是拱形的。
4、不足之处在于只研究了太阳光在水滴内经过一次反射的情况，对于多次反射的情况未进行研究说明。